Верхняя и нижняя суммы — ПриМат

Суммы Дарбу и их свойства

Верхняя и нижняя суммы — ПриМат

Суммы Дарбу и их свойства.

Пусть функция , определённая на отрезке  , ограничена на этом отрезке и пусть  – разбиение отрезка ,   (i=1,n). Обозначим

, ,     

                       , .                    (5)

Назовём   и   соответственно верхней и нижней суммами Дарбу для функции  при заданном разбиении   отрезка   . Заметим, что  эти суммы не зависят от выборки . Рассмотрим свойства сумм Дарбу.

С в о й с т в о  1. Для любой выборки    справедливы неравенства

.                                                     (6)

○ Так как для любого , выполняются неравенства

то

Складывая эти неравенства, получаем

          .                           (7)

Согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы    утверждения (7) и (6) равносильны. ●

С в о й с т в о  2. Справедливы равенства

                 ,                            (8)

                .                              (9)

○ Докажем утверждение (8). Согласно определению точной верхней грани нужно доказать, что выполняются следующие условия:

.

Первое из этих условий выполняется в силу (6). Докажем второе условие.

Так как , то по определению точной верхней грани

:.

Умножая  -е неравенство на  и складывая все полученные неравенства, находим

,

Где  – выборка. Итак, утверждение (8) доказано. Аналогично доказывается, что справедливо и утверждение (9).●

Следующее свойство сумм Дарбу связано с ещё одним понятием для разбиений. Назовём разбиение    продолжением (измельчением) разбиения   , если каждая точка разбиения    является точкой разбиения  . Иначе говоря, Разбиение   либо совпадает с разбиением  , либо получено из    добавлением по крайней мере одной новой точки.

С в о й с т в о  3. Если разбиение    –  продолжение разбиения  , то

                                                (10)

т.е. при измельчении разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

○ Для доказательства неравенств (10) достаточно рассмотреть случай, когда разбиение    получается из разбиения    добавлением только одной точки   . пусть   и  – отрезки, на которые точка    разбивает отрезок   , а  и   – длины этих отрезков; тогда   . Обозначим  , . Очевидно, что   ,  .

В суммах  и   равны все соответствующие слагаемые, за исключением тех, которые связаны с отрезком   . Поэтому

+ ,

где   ,  . Следовательно,

+ , т.е.   .

Аналогично доказывается неравенство   . Отсюда, используя неравенство   (см.(6)), получаем цепочку неравенств (10). ●

С в о й с т в о  4. Для любых разбиений   и   справедливо неравенство

                                               (11)

○ Пусть разбиение    является продолжением как разбиения   , так и  разбиения   (в качестве   можно взять    и добавить к нему те точки разбиения    , которые не входят в   ).

Из неравенств (10) при   ,   получаем

.

Полагая в (10)   =   и  = , находим

 .

Объединяя полученные неравенства, имеем

  ,

Откуда следует неравенство (11).●

С в о й с т в о  5. Существуют числа

,

Удовлетворяющие для любых разбиений    и    отрезка    условию

                                                                                       (12)

Эти числа называют соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу от функции    на отрезке   .

○ Из неравенства (11) по теореме об отделимости числовых множеств следует, что существует    и    (супремум и инфимум по всевозможным разбиениям отрезка    и для любых разбиений    и    выполняется неравенство (12).●

В заключение отметим, что свойства 1-5 справедливы для любой ограниченной на отрезке    функции.

Критерий интегрируемости функции.

Т е о р е м а  2. Для того, чтобы функция   , определённая на отрезке   , была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была ограничена и удовлетворяла условию

0:.

Таким образом, при каждом разбиении    отрезка   , мелкость которого удовлетворяет условию   , неравенство

                                                                        (14)

Выполняется при любой выборке   . Поэтому из левого неравенства (14) и равенства (9) следует, что

.                                                                    (15)

Аналогично из правого неравенства (14) и равенства (8) следует, что

 .                                                                   (16)

Из неравенств (15), (6) и (16) получаем цепочку неравенств

 ,

откуда следует, что

 .

Итак, интегрируемая на отрезке функция    удовлетворяет условию (13).

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть функция   ограничена на отрезке    и удовлетворяет условию (13). Докажем, что функция    интегрируема на отрезке   , т.е.

>0:.                          (17)

Воспользуемся свойством 5. Из неравенств (12) следует, что

 ,

откуда в силу (13) получаем неравенство

 ,

Справедливое для любого разбиения    такого, что   . Так как числа    и    не зависят от   , то отсюда следует, что

.

Обозначим

                       (18)

И докажем, что число     есть интеграл от функции    на отрезке   .

Из (12) и (18) следует, что

,                                                                          (19)

А из (19) и (6) в силу (13) получаем

 .

Это означает, что функция   интегрируема на отрезке   , а число    есть интеграл от    на   .●

Источник: //mipt1.ru/2_matan/13/index.html

Определение

 — верхняя сумма Дарбу

 — нижняя сумма Дарбу

Замечание

Суммы Дарбу зависят от разбиения T и не зависят от выбора промежуточных точек 

Свойство

Для любой выборки  и разбиения  справедливы неравенства: .  (*)

Так как  выполняются неравенства . Домножим все части на .

Перейдя к сумме в каждой части неравенства, получаем:

 (**)

Вывод: согласно определению сумм Дарбу и интегральной суммы  утверждения (*) и (**) равносильны.

Свойство .

При T — фиксированном, справедливы равенства: .

 Определение

Назовём разбиение  продолжением (измельчением) разбиения , если каждая точка разбиения  является точкой разбиения . Иначе говоря, разбиение  либо совпадает с разбиением , либо получено из  добавлением по крайней мере одной новой точки.

Пример 1

Найти суммы Дарбу для функции  на отрезке , соответствующие разбиению этого отрезка на равных частей.

В этом случае  . В силу непрерывности и возрастания этой функции при любом разбиении отрезка она достигает наименьшего  и наибольшего  значений на левом и правом концах частичного отрезка  соответственно. Согласно формулам, находим:

Принимая во внимание, что  , в итоге получаем:

Ответ

Пример 2

Для интеграла  найти верхнюю и нижнюю интегральные суммы, соответствующие разбиению отрезка  на 3 равные части.

На отрезке  функция монотонно возрастает и поэтому для этого отрезка имеем  .

На отрезке  наименьшим значением функции является , а наибольшим .

На отрезке  функция монотонно убывает, и поэтому:

Т.к. все  равны , то

Ответ

Литература:

  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I- 687 стр.(стр. 443- 445)
  • Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема «Определенный интеграл»)
  • Морозова В.Д. Введение в анализ: Учеб. для вузов/Под ред. В.С.Зарубина,А.П.Крищенко — М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана,1996 — 408 стр. (стр. 219-220)

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Источник: //ib.mazurok.com/tag/%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D1%8F%D1%8F-%D0%B8-%D0%BD%D0%B8%D0%B6%D0%BD%D1%8F%D1%8F-%D1%81%D1%83%D0%BC%D0%BC%D1%8B/

Верхняя и нижняя сумма Дарбу

Верхняя и нижняя суммы — ПриМат

Определенный интеграл и его геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции). Приближенное вычисление определенных интегралов, формулы трапеций и Симпсона.

Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [а, b]. Разобьем сегмент [а, b] произвольным образом на n частей точками .

Обозначим через

На каждом из сегментов выберем произвольные точки и составим интегральную сумму:

Обозначим . Если $ конечный , не зависящий от способа разбиения отрезка [а, b] и выбора точек , то его значение называется определенным интегралом от функции f(x), его обозначение , а функция f(x) называется интегрируемой на [а, b].

Т1. Если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она ограничена (последовательность называется ограниченной, если $ M>0, что для ) на этом сегменте. Если не ограничена => не интегрируема.

ДОК-ВО

Если функция f(x) не ограничена на [а, b], то $ по крайней мере одна точка с Î [а, b], в окрестности которой эта функция принимает сколь угодно большие по модулю значения.

Тогда хотя бы один из отрезков [xi; xi+1] ' c Þ за счет выбора точки произведение можно сделать как угодно большими по модулю Þ может быть сделана как угодно большой, значит не существует конечного предела суммы Þ неограниченная функция не является интегрируемой. ЧТД.

Покажем, что не всякая ограниченная функция является интегрируемой:

Функция ограничена, покажем, что она не интегрируема.

1) пусть – рац.

2) пусть – иррац.

зависит от выбора точек => функция не интегрируема.

Пусть функция у = f(x) ограничена на отрезке [а, b] и Þ ограничена на каждом из сегментов [xi; xi+1], тогда $ mi и Mi, где

ü – инфимум (точная нижняя грань: мн-во наз-ся ограниченным снизу, если (d-нижняя грань мн-ва А). Мн-во всех нижней граней обозначим ч/з D максим.из нижних граней наз-ся точной нижней гранью)

ü – супремум (точная верхняя грань: мн-во наз-ся ограниченным сверху, если сущ-ет (b-верхняя грань мн-ва А). Мн-во всех верхних граней обозначим ч/з А наим.из верхних граней наз-ся точной верхней гранью)

Верхняя сумма Дарбу: Геометрический смысл верхней и нижней суммы Дарбу:

Нижняя сумма Дарбу:

Т(необх. и дост. условие интегрируемости функции на [а, b]). Для того чтобы ограниченная на [а, b] функция у = f(x) была интегрируема на этом отрезке Ûдля ” e > 0 $ такое разбиение отрезка [а, b], что S – s < e.

Достаточные условия интегрируемости:

1) Если функция f(x) непрерывна на [а, b], то она интегрируема на нем.

2) Если функция f(x) монотонна на [а, b], то она интегрируема на нем.

3) Если функция f(x) ограничена на [а, b] и имеет лишь конечное число точек разрыва (т.е. является кусочно-непрерывной, разрывы I рода), то она интегрируема на [а, b].

Геометрический смысл (задача о площади криволинейной трапеции)

Пусть на отрезке [а, b] задана непрерывная положительная функция у = f(x).

Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная сверху – графиком функции у = f(x), снизу – осью Ox, справа и слева – вертикальными прямыми

Разобьем отрезок [а, b] произвольным образом на n частей точками и через каждую точку проведем вертикальные прямые до пересечения с графиком функции у = f(x).

Обозначим через

На каждом из сегментов выберем произвольные точки и на построим прямоугольник высотой , тогда

Составим интегральную сумму:

= площади ступенчатого тела.

Формулы трапеций. Для приближенного вычисления , где функция f(x) непрерывна на [а, b], делят отрезок [а, b] на n равных частей и выбирают шаг вычислений . Пусть xi – точки деления, xi = a + ih, i = 0..n.

Формула трапеций:

с абсолютной погрешностью

Для достижения заданной точности e шаг вычислений определяется из неравенства:

значения h округляется в сторону уменьшения так, чтобы n = (ba) / h было целым. Установив h, вычисляют интеграл, беря значение подынтегральной суммы хотя бы с одним запасным десятичным знаком.

Формулы Симпсона (параболическая).При применении формулы Симпсона n должно быть четным. Берется [x0; x2] через три точки (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2) проводят параболы и считают

с абсолютной погрешностью

Шаг вычислений определяется из неравенства:

h имеет порядок

Значения h округляют в сторону уменьшения так, чтобы n = (ba) / h было целым четным числом.

ЗАМЕЧАНИЕ: так как определение M2 и M4, вообще говоря, затруднительно, то на практике h подбирают исходя из здравого смысла, грубой прикидки. Затем шаг уменьшают вдвое и заново проводят вычисления. Если новый результат совпадает с полученным в сохраняемых нами десятичных знаках, то вычисления заканчиваются.

Для вычисления абсолютной погрешности формулы Симпсона можно применять принцип Рунге:

– результаты вычисления по формуле Симпсона соответственно с шагом h и 2h.

Не обязательно Свойства 1° если функции f(x) и j(x) интегрируемы на [а, b], то функция af(x) + bj(x) также интегрируема на [а, b]: 2° будем считать по определению 3° если функция f(x) интегрируема на [а, b], то она интегрируема и на [b, а]: 4° если функция f(x) интегрируема на ” двух из отрезков [а, b], [а, c], [c, b], то она интегрируема и на третьем отрезке: 5° если функция f(x) интегрируема на [а, b], то |f(x)| также интегрируема и на [b, а]. При этом: Обратное утверждение неверно, т.е. из интегрируемости |f(x)| не следует интегрируемость f(x): |f(x)| = 1 интегрируема, но f(x) не интегрируема. 6° если функция f(x) интегрируема на [а, b] и f(x) > 0, то 7° [теорема о двусторонней оценке] если функция f(x) интегрируема на [а, b] и m £ f(x) £ M, то 8° [теорема о среднем] если функция f(x) непрерывна на [а, b], то $ точка cÎ(а, b):

Источник: //studopedia.su/14_177287_verhnyaya-i-nizhnyaya-summa-darbu.html

ВашеЛечение
Добавить комментарий